As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Podemos usar as palavras quatorze ou catorze sempre que quisermos referir o numeral cardinal 14, equivalente a 1 dezena mais 4 unidades. As palavras quatorze e catorze são comumente usadas e socialmente aceites no português falado no Brasil.
Quatorze tem sua origem na palavra em latim quattuordecim, mantendo sua escrita com qu. Catorze também tem sua origem na palavra em latim quattuordecim, mas sofreu alteração de qu para c, ou seja, sofreu uma adequação ortográfica baseada na fonética da sílaba. Alguns falantes privilegiam o uso da palavra quatorze por ser a que mais se aproxima de seu étimo latino. Outros falantes optam pela utilização da palavra que sofreu evolução devido ao uso e às características do português.
